数列的递推公式是指通过已知项及其之间的关系，求出数列的后继项的一种算法。对于周期数列，其数列元素在一定条件下会周期性的重复出现。
以斐波那契数列为例，其递推公式为：
F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0)=0，F(1)=1。
斐波那契数列的周期性为：
当取模数大于2时，斐波那契数列在模取该数时会出现循环，具体周期长度与取模数有关，如：
当模数为3时，周期长度为8
当模数为4时，周期长度为6
当模数为5时，周期长度为20
以此类推。多数数列的周期性与取模数有关。
数列的递推公式能够明确表示数列中的每一项与前面一些项的关系，从而可以很方便地求出数列中任意一项的值。
而数列是否具有周期性，取决于它的定义方式。
对于一些简单的数列，如等差数列、等比数列等，它们的递推公式容易推导出来，并且它们具有周期性，周期分别为公差和公比的倒数。
对于一些更为复杂的数列，如斐波那契数列等，其递推公式可能比较难以推导，但它们也有很强的周期性。
斐波那契数列每相隔5项，其后面的项就会和前面的项重复，即具有周期为5的性质。
在数学研究和应用中，数列的周期性是一个非常重要的性质，它可以帮助我们更好地理解和利用数列的性质。
线性齐次递推仅当特征方程有特征根满足x^k=1（k是任意整数）时有周期解，注意这里的根是复数。这要求它首先模为1，其次至少要是个代数数，第三幅角与2π的比例是个有理数。仅仅模为1是不够的，比如x^2-(1/π)x+1=0的根，不是代数数，因此也没有周期存在；再比如x^2-(1/2)x+1=0，根虽然是代数数，但幅角不满足条件，也没有周期性。
对于递推中的系数都是有理数的情况，设最高次数为n，那么可以尝试exp(i 2π/k)，其中k=1,2,...,n，如果都不是，那应该就没有周期解了。
最后，有周期解不代表实际的数列就有周期，还需要考虑初值和其他特征值的影响。如果有非周期的特征解（即有不满足条件的特征根），则解会分为周期和非周期两部分，只有非周期解的系数恰好为0时有周期性；如果所有特征解都是周期性的，但周期不同，则实际的最小正周期可能是其中的一个或多个的最大公约数。