等差数列求和公式的推导可以通过数学归纳法和等差数列的定义来进行。
设等差数列的首项为 $a_1$，公差为 $d$，项数为 $n$，则第 $k$ 项的值为：
$$
a_k = a_1 + (k-1)d
$$
等差数列的前 $n$ 项和为：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
其中 $a_n$ 表示第 $n$ 项的值，可以通过递推公式 $a_{n+1} = a_n + d$ 来求得，即：
$$
a_n = a_1 + (n-1)d
$$
将 $a_n$ 代入求和公式中，得到：
$$
S_n = \frac{n}{2}[a_1 + a_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = \frac{n}{4}(2a_1 + (n-1)d)
$$
因此，等差数列的前 $n$ 项和为 $\frac{n}{4}(2a_1 + (n-1)d)$。