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欧拉公式三角函数推导过程

欧拉公式的推导过程：

靠前步，我们设 z=x+yi，其中 x 和 y 是实数，i 是虚数单位，满足 i2=−1。

第二步，根据复数的三角形式，我们可以将 z 写成 ρ(cosθ+isinθ) 的形式，其中 ρ=x2+y2，θ 是 z 在复平面上的辐角。

第三步，根据三角函数的加法公式，我们有：

cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

第四步，令 A=θ，B=2nπ（其中 n 是整数），则：

cos(A+B)=cos(θ+2nπ)=cosθ

sin(A+B)=sin(θ+2nπ)=sinθ

第五步，由于 ρ 和 θ 是 z 的极坐标表示中的两个变量，我们可以将 ρ 和 θ 分别替换为 r 和 t，其中 r=∣z∣。

第六步，根据第五步的替换，我们可以得到：

z=r(cost+isint)

第七步，根据复数的模长和辐角，我们有：

r=∣z∣=x2+y2

t=arctan(xy)

第八步，将第七步中的 r 和 t 代入第六步中的公式，得到：

z=r(cost+isint)

综上，我们得到了欧拉公式：

z=x+yi=r(cost+isint)。