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勾股数是什么

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  • 2024-05-27 18:39:48

勾股定理说明,平面上的直角三角形的两条直角边的长度(古称勾长、股长)的平方和等于斜边长(古称弦长)的平方。反之,若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方,则它是直角三角形(直角所对的边是第三边)。

勾股定理

勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。

勾股定理推导:欧几里得证法

在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。

完全公式

公式

a=m,b=(m^2 / k - k) / 2,c=(m^2 / k + k) / 2 ①

其中m ≥3

⒈ 当m确定为任意一个 ≥3的奇数时,k={1,m^2的所有小于m的因子}

⒉ 当m确定为任意一个 ≥4的偶数时,k={m^2 / 2的所有小于m的偶数因子}

基本勾股数与派生勾股数可以由完全一并求出。例如,当m确定为偶数432时,因为k={432^2 / 2的所有小于432的偶数因子}= {2,4,6,8,12,16,18,24,32,36,48,54,64,72,96,108,128,144,162,192,216,288,324,384},将m=432及24组不同k值分别代入b=(m^2 / k - k) / 2,c=(m^2 / k + k) / 2;即得直角边a=432时,具有24组不同的另一直角边b和斜边c,基本勾股数与派生勾股数一并求出。而勾股数的组数也有公式能直接得到。

组数N

算术基本定理:一个大于1的正整数n,如果它的标准分解式为n=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr,那么它的正因数个数为N=(m1+1)×(m2+1)×……×(mr+1);依据定理,易得以下结论

当a给定时,不同勾股数组a,b,c的组数N等于①式中k的可取值个数

⒈ 取奇数a=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr,其中k={1,a^2的所有小于a的因子},则k的可取值个数:

N=[(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)-1]/2

⒉ 取偶数a=2^m0×p1^m1×p2^m2×……×pr^mr,其中k={a^2 / 2的所有小于a的偶数因子},则k的可取值个数:

N=[(2m0-1)×(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)-1]/2

其中,p1,p2,……,pr为互不相同的奇素数,m0,m1,……,mr为幂指数。

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